چگونه مساحت یک چند ضلعی را محاسبه کنیم

اطلاعات نویسنده

محاسبه‌ی مساحت یک چندضلعی می‌تواند به سادگی بدست آوردن مساحت مثلث معمولی یا پیچیدگی محاسبه‌ی مساحت یک یازده‌ضلعی باشد. اگر می‌خواهی یاد بگیری که چطور مساحت چندضلعی‌های مختلف را محاسبه کنی، این آموزش را دنبال کن.

روش 1

روش 1 از 3:

محاسبه‌ی مساحت چندضلعی منتظم با استفاده از ارتفاع آن

1
فرمول محاسبه‌ی مساحت یک چندضلعی منتظم را بنویس. برای بدست آوردن مساحت چندضلعی منتظم، تنها کاری که باید انجام بدهی این است که این فرمول را حل کنی: ارتفاع × محیط ۱/۲ = مساحت. این متغیرها عبارتند از:^{[۱]
X
منبع تحقیقات}
- محیط = مجموع طول اضلاع
- ارتفاع = پاره‌خطی که از مرکز چندضلعی تا وسط هر کدام از اضلاع کشیده شود و بر آن‌ها عمود باشد.^{[۲]
  X
  منبع تحقیقات}
2
ارتفاع چندضلعی را محاسبه کن. اگر از روش حل براساس ارتفاع استفاده می‌کنی، پس ارتفاع به تو داده خواهد شد. فرض کن یک شش‌ضلعی منتظم داری که اندازه‌ی ارتفاعش برابر با ۳√۱۰ است.
3
باید محیط این چندضلعی را محاسبه کنی. اگر اندازه‌ی محیط داده شده است، پس کار تقریبا تمام است و فقط چند محاسبه‌ی ساده می‌ماند. اگر اندازه‌ی ارتفاع را می‌دانی و با یک چندضلعی منتظم سر و کار داری، پس می‌توانی از آن برای پیدا کردن محیط استفاده کنی. روش محاسبه‌ی محیط را در ادامه بخوان:
- حتما می‌دانی که یک شش‌ضلعی منتظم از کنار هم قرار گرفتن شش مثلث متساوی‌الاضلاع ساخته می‌شود. بنا به تعریف، ارتفاع خطی است که ضلع این مثلث را دقیقا به دو نیم تقسیم می‌کند و یک مثلث قائم‌الزاویه با زوایای ۳۰، ۶۰ و ۹۰ تشکیل می‌شود. فرض کن که ارتفاع یک چندضلعی، ضلع x√۳ مثلث ۳۰-۶۰-۹۰ باشد.
- از طرفی می‌دانی که ضلع روبروی زاویه‌ی ۶۰ درجه برابر x√۳، ضلع روبروی زاویه ۳۰ درجه برابر x و ضلع روبروی زاویه‌ی ۹۰ درجه هم برابر ۲x است. اگر۳√۱۰ = x√۳ باشد، آنگاه ۱۰ = x است.
- چون اندازه‌ی x نصف قاعده‌ی مثلث است، پس آن را ضرب در ۲ کن تا طول ضلع مثلث را بدست بیاوری یعنی طول ضلع ۲۰ خواهد شد. طول ضلع را در ۶ ضرب کن تا محیط شش‌شلعی را بدست بیاوری. پس محیط این شش‌ضلعی برابر ۱۲۰ خواهد شد.
4
ارتفاع و محیط را در فرمول وارد کن. اگر از فرمول مساحت = ۱/۲ محیط × ارتفاع استفاده می‌کنی، پس می‌توانی عدد ۱۲۰ را به جای محیط و ۳√۱۰ را به جای ارتفاع بگذاری. در ادامه می‌توانی ببینی که این فرمول چطور محاسبه می‌شود:
- ۳√۱۰ × ۱۲۰ × ۱/۲ = مساحت
- ۳√۱۰ × ۶۰= مساحت
- ۳√۶۰۰ = مساحت
5
مسئله را ساده کن. شاید بخواهی جواب را به جای رادیکال به صورت اعشاری نمایش بدهی. کافی است از ماشین حساب استفاده کنی و مقدار ۳√ را پیدا و آن را در ۶۰۰ ضرب کنی. جواب نهایی ۱۰۳۹/۲خواهد بود.

روش 2

روش 2 از 3:

محاسبه‌ی مساحت چندضلعی‌های ساده

1
مساحت یک مثلث را پیدا کن. اگر می‌خواهی مساحت یک مثلث معمولی را محاسبه کنی، تنها کاری که باید انجام بدهی این است که از این فرمول استفاده کنی: "ارتفاع × قاعده × ۱/۲ = مساحت".
- اگر مثلثی داری که قاعده‌ی آن ۱۰ و ارتفاع ۸ است، پس: ۴۰ = ۱۰ × ۸ × ۱/۲ = مساحت.
2
مساحت یک مربع را پیدا کن. برای محاسبه‌ی مساحت مربع فقط کافی است یک ضلع آن را در خودش ضرب کنی؛ یعنی یک ضلع را به توان ۲ برسانی. این کار درست مثل این است که قاعده‌ی یک مربع را در ارتفاع آن ضرب کنی، چون قاعده و ارتفاع در مربع برابر هستند.
- اگر ضلع مربع ۶ باشد، مساحت آن برابر ۶×۶ یعنی ۳۶ است.
3
مساحت یک مستطیل را پیدا کن. برای محاسبه‌ی مساحت یک مستطیل کافی است قاعده‌اش را ضرب در ارتفاعش کنی.
- اگر قاعده‌ی مستطیل ۴ و ارتفاعش ۳ باشد، مساحت مستطیل ۱۲ =۳ × ۴ می‌شود.
4
مساحت ذوزنقه را پیدا کن. برای محاسبه‌ی مساحت یک ذوزنقه فقط کافی است از این فرمول استفاده کنی:مساحت = ۲/[ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک)]
- فرض کن می‌خواهی مساحت ذوزنقه‌ای را محاسبه کنی که طول قاعده‌های آن ۶ و ۸ و ارتفاع آن ۱۰ است. محاسبه‌ی مساحت این ذوزنقه خیلی ساده است:
  ۲/[۱۰ ‍× (۸ + ۶)] = مساحت
  ۲/[۱۰ ‍×(۱۴)] = مساحت
  ۲/[۱۴۰] = مساحت
  ۷۰ = مساحت
  پس مساحت این ذوزنقه برابر ۷۰ است.

روش 3

روش 3 از 3:

محاسبه‌ی مساحت چندضلعی‌های نامنتظم

1
مختصات رئوس^{[۳]
X
منبع تحقیقات}چندضلعی نامنتظم را بنویس. برای پیدا کردن مساحت یک چندضلعی نامنتظم باید مختصات رئوس آن را بدانی.^{[۴]
X
منبع تحقیقات}
2
یک آرایه درست کن. مختصات طول (x) و عرض (y) رئوس را به ترتیب خلاف عقربه‌های ساعت در یک لیست وارد کن. مختصات نقطه اول را دوباره در پایین لیست تکرار کن.
3
مؤلفه‌ی طول (x) هر نقطه را در مختصات عرض (y) نقطه بعدی ضرب کن. نتایج این ضرب‌ها را با هم جمع کن که در این مثال برابر ۸۲ است.
4
مؤلفه‌ی عرض (y) هر نقطه را در مختصات طول (x) نقطه‌ی بعدی ضرب کن. نتایج این ضرب‌ها را هم با هم جمع کن که در این مثال برابر ۳۸- است.
5
جمع کل دوم را از جمع کل اول کم کن. یعنی ۸۲ را منهای ۳۸- کن: ۱۲۰ = (۳۸-) - ۸۲.
6
حاصل این تفریق را تقسیم بر ۲ کن تا مساحت چندضلعی بدست بیاید. کافی است ۱۲۰ را تقسیم بر ۲ کنی تا عدد ۶۰ یعنی مساحت را بدست بیاوری.

نکات

اگر نقاط چندضلعی را در جهت حرکت عقربه‌های ساعت مرتب کنی، مساحت آن چندضلعی عددی منفی خواهد شد. چون مساحت هیچ وقت منفی نمی‌شود، پس می‌توان تشخیص داد که ترتیب نقاط به کدام جهت است.
این فرمول، مساحت را با توجه به جهت محاسبه می‌کند. به این صورت که اگر چندضلعی داری که دو ضلع آن مانند عدد هشت انگلیسی (8) همدیگر را قطع می‌کنند، باید مساحت ناحیه‌ای که ترتیب نقاط در آن خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت است را منهای مساحت قسمتی کنی که ترتیب نقاط آن موافق حرکت عقربه‌های ساعت است.