چگونه مساحت یک مثلث را محاسبه کنیم

به‌طور مشارکتی نوشته شده با همکاری David Jia

متداول‌ترین راه محاسبه‌ی مساحت مثلث، ضرب کردن نصف قاعده در ارتفاع است. البته بسته به این که مسئله چه اطلاعاتی داده باشد راه‌های دیگری هم برای این کار هست. با استفاده از اندازه‌ی اضلاع و زاویه‌های مثلث، بدون داشتن ارتفاع هم می‌شود مساحت مثلث را حساب کرد.

روش 1

روش 1 از 4:

محاسبه‌ی مساحت مثلث با استفاده از قاعده و ارتفاع

1
قاعده و ارتفاع مثلث را پیدا کن. هر کدام از اضلاع مثلث را می‌توانی به عنوان قاعده در نظر بگیری. ارتفاع پاره‌خطی است که از راس مقابل بر قاعده عمود شود (یعنی زاویه‌ی ۹۰ درجه ایجاد کند). این اطلاعات باید در مسئله به تو داده شود یا امکان محاسبه‌ی آنها وجود داشته باشد.
- برای مثال، فرض کن مثلثی داری که قاعده‌ی آن ۵ سانتیمتر و ارتفاع آن ۳ سانتیمتر است.
2
فرمول را برای محاسبه‌ی مساحت مرتب کن. این فرمول به صورت ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}(bh)$ است، که در آن $A$ مساحت، $b$ قاعده‌ و $h$ هم ارتفاع مثلث است. به عبارت دیگر، مساحت مثلث برابر است با نصف قاعده ضرب در ارتفاع.^{[۱]
X
منبع تحقیقات}
3
اندازه‌ی قاعده و ارتفاع را در فرمول وارد کن. این دو مقدار را در هم ضرب کن و نتیجه را تقسیم بر ۲ کن. این کار مساحت مثلث را در مربع واحد (سانتیمتر مربع یا متر مربع و...) به تو خواهد داد.
- برای مثال، اگر قاعده‌ی مثلث برابر ۵ سانتیمتر و ارتفاع آن ۳ سانتیمتر باشد، مساحتش به این شکل محاسبه می‌شود:
  ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}(bh)$
  ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}({\text{۵}})({\text{۳}})$
  ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}({\text{۱۵}})$
  ${\text{A}}={\text{۷/۵}}$
  بنابراین، مساحت یک مثلث با قاعده‌ی ۵ سانتیمتر و ارتفاع ۳ سانتیمتر برابر ۷/۵ سانتیمترمربع خواهد بود.
4
مساحت مثلث قائم‌الزاویه را پیدا کن. از آن جایی که در مثلث قائم‌الزاویه دو ضلع بر هم عمود هستند (یعنی زاویه‌ی بین آن‌ها ۹۰ درجه است) می‌توانی یکی را به دلخواه به عنوان قاعده و آن یکی را ارتفاع در نظر بگیری. در این صورت دیگر نیازی نیست که در مسئله‌ قاعده و ارتفاع مثلث قائم‌الزاویه مشخص شود. اگر اندازه‌ی اضلاع را داشته باشی، می‌توانی با استفاده از فرمول ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}(bh)$ ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}(bh)$ مساحت را محاسبه کنی.
- همچنین زمانی که یک ضلع و وتر را داشته باشی می‌توانی از این فرمول استفاده کنی. وتر بزرگترین ضلع مثلث قائم‌الزاویه و مقابل به زاویه‌ی قائمه است. همانطور که می‌دانی برای بدست آوردن یک ضلع مجهول در مثلث قائم‌الزاویه می‌توانی از قضیه‌ی فیثاغورث ( $a^{\text{۲}}+b^{\text{۲}}=c^{\text{۲}}$ ) استفاده کنی.
- برای مثال، اگر وتر مثلث ضلع c باشد، قاعده و ارتفاع دو ضلع دیگر (a و b) خواهند بود. اگر اندازه‌ی وتر برابر ۵ سانتیمتر و قاعده‌ی ۴ سانتیمتر باشد، آنگاه برای بدست آوردن ارتفاع می‌توانی از قضیه‌ی فیثاغورث به این صورت استفاده کنی:
  $a^{\text{۲}}+b^{\text{۲}}=c^{\text{۲}}$
  $a^{\text{۲}}+{\text{۴}}^{\text{۲}}={\text{۵}}^{\text{۲}}$
  $a^{\text{۲}}+{\text{۱۶}}={\text{۲۵}}$
  $a^{\text{۲}}+{\text{۱۶}}-{\text{۱۶}}={\text{۲۵}}-{\text{۱۶}}$
  $a^{\text{۲}}={\text{۹}}$
  $a={\text{۳}}$
  حالا می‌توانی دو ضلع عمود بر هم (a و b) را در فرمول به جای قاعده (b) و ارتفاع (h) جاگذاری کنی:
  ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}(bh)$
  ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}({\text{۴}})({\text{۳}})$
  ${\text{A}}={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}({\text{۱۲}})$
  ${\text{A}}={\text{۶}}$

روش 2

روش 2 از 4:

محاسبه‌ی مساحت مثلث با استفاده از طول اضلاع

1
نصف محیط مثلث را محاسبه کن. برای این کار اضلاع مثلث را با هم جمع کن و بعد نتیجه را تقسیم بر ۲ کن.^{[۲]
X
منبع تحقیقات}
- برای مثال اگر یک مثلث با اضلاع ۵، ۴ و ۳ سانتیمتر داشته باشی، نصف محیط (s) آن را می توانی به این شکل محاسبه کنی:
  $s={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}({\text{۳}}+{\text{۴}}+{\text{۵}})$
  $s={\frac {\text{۱}}{\text{۲}}}({\text{۱۲}})={\text{۶}}$
2
فرمول هرون را بازنویسی کن. این فرمول به این شکل است ${\text{A}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ، به طوری که $s$ نصف محیط مثلث و $a$ ، $b$ و $c$ طول اضلاع مثلث هستند.^{[۳]
X
منبع تحقیقات}
3
نصف محیط و طول اضلاع را در فرمول جاگذاری کن. دقت کن که نصف محیط را به جای همه‌ی $s$ $s$ های متناظر جاگذاری کنی.
- برای مثال:
  ${\text{A}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
  ${\text{A}}={\sqrt {{\text{۶}}({\text{۶}}-{\text{۳}})({\text{۶}}-{\text{۴}})({\text{۶}}-{\text{۵}})}}$
4
مقادیر داخل پرانتز را حساب کن. طول هر ضلع را از اندازه‌ی نصف محیط مثلث کم کن. بعد این مقادیر را در هم ضرب کن و معادله را به شکل زیر حل کن:
- برای مثال:
  ${\text{A}}={\sqrt {{\text{۶}}({\text{۶}}-{\text{۳}})({\text{۶}}-{\text{۴}})({\text{۶}}-{\text{۵}})}}$
  ${\text{A}}={\sqrt {{\text{۶}}({\text{۳}})({\text{۲}})({\text{۱}})}}$
  ${\text{A}}={\sqrt {{\text{۶}}({\text{۶}})}}$
5
دو مقدار زیر رادیکال را در هم ضرب کن. بعد جذر آن را حساب کن. با این کار محیط مثلث در واحد مربع بدست می‌آید.
- برای مثال:
  ${\text{A}}={\sqrt {{\text{۶}}({\text{۶}})}}$
  ${\text{A}}={\sqrt {\text{۳۶}}}$
  ${\text{A}}={\text{۶}}$
  بنابراین مساحت مثلث برابر ۶ سانتیمتر مربع خواهد بود.

روش 3

روش 3 از 4:

محاسبه‌ی مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع با داشتن طول یک ضلع

1
انداره‌ی یک ضلع مثلث را پیدا کن. مثلث متساوی‌الاضلاع دارای سه ضلع و زاویه‌ی برابر است، پس اگر اندازه‌ی یک ضلع را داشته باشی، در واقع اندازه‌ی همه‌ی اضلاع را داری.^{[۴]
X
منبع تحقیقات}
- برای مثال، ممکن است مثلثی داشته باشی که طول هر سه ضلع آن برابر ۶ سانتیمتر باشد.
2
فرمول را برای محاسبه‌ی مثلث متساوی‌الاضلاع مرتب کن. فرمول به این شکل است: ${\text{A}}=(s^{\text{۲}}){\frac {\sqrt {\text{۳}}}{\text{۴}}}$ ، به نحوی که $s$ طول یک ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع است.^{[۵]
X
منبع تحقیقات}
3
طول ضلع را در فرمول جاگذاری کن. مقدار ضلع را بجای $s$ $s$ جاگذاری کن و بعد آن را به توان ۲ برسان.
- مثلا اگر مثلث متساوی‌الاضلاعی داشته باشی که طول ضلع آن برابر ۶ سانتیمتر است، در آن صورت:
  ${\text{Ar}}=(s^{\text{۲}}){\frac {\sqrt {\text{۳}}}{\text{۴}}}$
  ${\text{A}}=({\text{۶}}^{\text{۲}}){\frac {\sqrt {\text{۳}}}{\text{۴}}}$
  ${\text{A}}=({\text{۳۶}}){\frac {\sqrt {\text{۳}}}{\text{۴}}}$
4
مربع طول ضلع را در ${\sqrt {\text{۳}}}$ ضرب کن. بهتر است برای این که جواب دقیق‌تری بدست آوری، مقدار جذر را در ماشین حساب بدست بیاوری. در غیر این صورت می‌توانی مقدار تقریبی ۱/۷۳۲ را به جای ${\sqrt {\text{۳}}}$ ${\sqrt {\text{۳}}}$ قرار دهی.
- برای مثال:
  ${\text{A}}=({\text{۳۶}}){\frac {\sqrt {\text{۳}}}{\text{۴}}}$
  ${\text{A}}={\frac {\text{۶۲/۳۵۲}}{\text{۴}}}$
5
جواب را تقسیم بر ۴ کن. این کار مقدار مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع را در واحد سانتیمتر مربع به تو خواهد داد.
- برای مثال:
  ${\text{A}}={\frac {\text{۶۲/۳۵۲}}{\text{۴}}}$
  ${\text{A}}={\text{۱۵/۵۸۸}}$
  پس مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۶ سانتیمتر برابر ۱۵/۵۹ سانتیمتر مربع است.

روش 4

روش 4 از 4:

محاسبه‌ی مساحت مثلث با استفاده از مثلثات

1
طول دو ضلع مجاور و زاویه‌ی بین آن‌ها را بدست بیاور. اضلاع مجاور در مثلث دو ضلعی هستند که در یک راس مثلث همدیگر را قطع می‌کنند^{[۶]
X
منبع تحقیقات} و زاویه‌ی بین آن‌ها یکی از سه زاویه‌‌ی آن مثلث خواهد بود.
- مثلا فرض کن مثلثی داری که طول دو ضلع مجاور آن به ترتیب ۱۵۰ و ۲۳۱ سانتیمتر باشند. زاویه‌ی بین آن‌ها هم ۱۲۳ درجه است.
2
فرمول مثلثاث را برای بدست آوردن مساحت مثلث مرتب کن. فرمول به این شکل است:
${\text{A}}={\frac {bc}{\text{۲}}}\sin A$
به طوری که $b$ و $c$ اضلاع مجاور و $A$ زاویه‌ی بین آن‌هاست.^{[۷]
X
منبع تحقیقات}
3
طول اضلاع را در فرمول جاگذاری کن. دقت کن که اندازه‌های اضلاع $b$ $b$ و $c$ $c$ را بدرستی در فرمول جاگذاری کنی. آن‌ها را در هم ضرب و بعد تقسیم بر ۲ کن.
- برای مثال:
  ${\text{A}}={\frac {bc}{\text{۲}}}\sin A$
  ${\text{A}}={\frac {({\text{۱۵۰}})({\text{۲۳۱}})}{\text{۲}}}\sin A$
  ${\text{A}}={\frac {({\text{۳۴٬۶۵۰}})}{\text{۲}}}\sin A$
  ${\text{A}}={\text{۱۷٬۳۲۵}}\sin A$
4
سینوس زاویه را در فرمول جاگذاری کن. برای بدست آوردن سینوس این زاویه می‌توانی از ماشین حساب استفاده کنی. به این شکل که اول مقدار زاویه را در ماشین حساب وارد کن و بعد دکمه‌ی “SIN” (سینوس) را فشار بده.
- مثلا سینوس زاویه‌ی ۱۲۳ درجه برابر ۰/۸۳۸۶۹ است. پس فرمول به این شکل خواهد شد:
  ${\text{A}}={\text{۱۷٬۳۲۵}}\sin A$
  ${\text{A}}={\text{۱۷٬۳۲۵}}({\text{۰/۸۳۸۶۷}})$
5
دو مقدار نهایی را در هم ضرب کن.
- برای مثال:
  ${\text{A}}={\text{۱۷٬۳۲۵}}({\text{۰/۸۳۸۶۷}})$
  ${\text{A}}={\text{۱۴٬۵۲۹/۹۶}}$ .
  پس مساحت این مثلث تقریبا برابر ۱۴/۵۳۰ سانتیمتر مربع خواهد بود.

نکات

اگر هنوز متوجه نشدی که فرمول قاعده-ارتفاع چطور بدست می‌آید، اینجا توضیحی از آن نوشته شده است. اگر دو مثلث یکسان از لحاظ شکل و اندازه داشته باشی، به این صورتی که دقیقا کپی هم باشند و آن‌ها را در کنار هم بچسبانی، آنگاه یا یک مستطیل (برای دو مثلث قائم‌الزاویه) یا یک متوازی‌الاضلاع (برای دو مثلث غیرقائم‌الزاویه) ایجاد خواهد شد. برای بدست آوردن مساحت یک مستطیل یا یک متوازی‌الاضلاع کافی است قاعده را ضرب در ارتفاع کنی. از آن جایی که مساحت مثلث برابر نصف مساحت این مستطیل یا متوازی‌الاضلاع است، کافی است که نصف قاعده ضرب در ارتفاع را محاسبه کنی.