چگونه زاویه را محاسبه کنیم

به‌طور مشارکتی نوشته شده با همکاری Mario Banuelos, PhD

در هندسه، زاویه عبارت‌ است از فاصله‌ی بین دو خط مستقیم (یا پاره‌خط) با دو نقطه‌ی انتهایی (یا راس) یکسان. متداول‌ترین روش اندازه‌گیری زاویه، با استفاده از درجه است که بر مبنای زاویه‌ی ۳۶۰ درجه‌ی یک دایره‌ی کامل محاسبه می‌شود. می‌توانی اندازه‌ی زاویه‌ی یک چند‌ضلعی را به‌شرط دانستن شکل چند‌ضلعی و اندازه‌ی زاویه‌های دیگر آن یا در صورت داشتن یک زاویه‌ی قائمه و اندازه‌ی یکی از دو زاویه‌ی دیگر محاسبه کنی. همچنین می‌توانی اندازه‌ی زاویه را با استفاده از نقاله یا ماشین‌حساب نموداری محاسبه کنی.

روش 1

روش 1 از 2:

محاسبه‌ی زاویه‌های داخلی چند‌ضلعی

1
تعداد ضلع‌های چندضلعی را بشمار. برای محاسبه‌ی زاویه‌های داخلی یک چند‌ضلعی ابتدا باید تعداد ضلع‌های آن را مشخص کنی. توجه داشته باش که تعداد زاویه‌های یک چند‌ضلعی با تعداد اضلاع آن برابر است.^{[۱]
X
منبع تحقیقات}
- برای مثال مثلث سه ضلع و سه زاویه‌ی داخلی دارد در‌حالی‌که مربع دارای ۴ ضلع و ۴ زاویه‌ی داخلی است.
2
اندازه‌ی مجموع زاویه‌های داخلی چند‌ضلعی را پیدا کن. فرمول محاسبه‌ی مجموع زاویه‌های داخلی چند‌ضلعی به‌صورت: ۱۸۰ × (۲ - n) است. در این فرمول n نمایانگر تعداد ضلع‌های چند‌‌ضلعی است. مجموع زاویه‌های بعضی از اشکال هندسی به صورت زیر است:^{[۲]
X
منبع تحقیقات}
- مجموع زاویه‌های یک مثلث (یک چند‌‌ضلعی ۳ وجهی) معادل ۱۸۰ درجه است.
- مجموع زاویه‌های یک چهار ضلعی (یک چند‌‌ضلعی ۴ وجهی) معادل ۳۶۰ درجه است.
- مجموع زاویه‌های یک پنج‌ضلعی (یک چند‌ضلعی ۵ وجهی) معادل ۵۴۰ درجه است.
- مجموع زاویه‌های یک شش‌ضلعی (یک چند‌ضلعی ۶ وجهی) معادل ۷۲۰ درجه است.
- مجموع زاویه‌های یک هشت‌ضلعی (یک چند‌‌ضلعی ۸ وجهی) معادل ۱۰۸۰ درجه است.
3
مجموع زاویه‌های چند‌ضلعی منتظم را بر تعداد زاویه‌های آن تقسیم کن. چند‌ضلعی منتظم به چند‌ضلعی گفته می‌شود که اندازه‌ی تمام وجه‌های آن یکسان است و تمام زاویه‌های آن هم‌اندازه هستند. برای مثال، اندازه‌ی هر یک از زاویه‌های یک مثلث متساوی‌الاضلاع معادل ۳ ÷ ۱۸۰ یا همان ۶۰ درجه است و اندازه‌ی هر یک از زاویه‌های یک مربع معادل ۴ ÷ ۳۶۰ یا همان ۹۰ درجه است.^{[۳]
X
منبع تحقیقات}
- مثلث متساوی‌الاضلاع یا مربع نمونه‌هایی از چند‌ضلعی‌ منتظم هستند. ساختمان پنتاگون در واشینگتن دی‌سی، یک پنج‌ضلعی منتظم و علامت ایست راهنمایی‌و‌رانندگی یک هشت‌ضلعی منتظم است.
4
برای محاسبه‌ی اندازه‌ی زاویه‌ی یک چند‌ضلعی نا‌منتظم، اندازه‌ی مجموع زاویه‌های مشخص‌شده‌ی چند‌ضلعی را از اندازه‌ی کل زاویه‌های چند‌ضلعی کم کن. اگر اندازه‌ی وجه‌ها و زاویه‌های چندضلعی مورد‌نظرت یکسان نیست، تنها کاری که باید انجام بدهی این است که زاویه‌هایی را که اندازه‌ی آن‌ها مشخص است با‌هم جمع بزنی. سپس عدد به‌دست‌آمده را از اندازه‌ی مجموع زاویه‌های چند‌ضلعی کم کنی تا اندازه‌ی زاویه‌ی مورد‌نظر به‌دست بیاید.^{[۴]
X
منبع تحقیقات}
- برای مثال، اگر می‌دانی اندازه‌های ۴ زاویه یک پنچ‌ضلعی ۸۰، ۱۰۰، ۱۲۰ و ۱۴۰ درجه است، این اعداد را با‌هم جمع کن تا حاصل‌جمع ۴۴۰ بدست بیاید. سپس حاصل‌جمع به‌دست‌آمده را از مجموع زاویه‌های پنج ضلعی که ۵۴۰ درجه است کم کن: درجه ۱۰۰ = ۴۴۰ - ۵۴۰ . بنابراین اندازه‌ی زاویه‌ی مورد‌نظر ۱۰۰ درجه است.
نکته: برای محاسبه‌ی زاویه‌های بعضی از چند‌ضلعی‌ها، روش‌های “کمکی” وجود دارد. مثلث متساوی‌الاضلاع مثلثی است که طول دو ضلع آن و اندازه‌ی دو زاویه‌ی آن با‌هم برابر است. متوازی‌‌‌الاضلاع یک چهار‌ضلعی است که در آن طول اضلاع متضاد و زاویه‌هایی که به‌صورت مورب رو‌به‌روی هم قرار گرفته‌اند یکسان است.

روش 2

روش 2 از 2:

پیدا‌کردن زاویه‌های مثلث قائم‌الزاویه

1
یادت باشد تمام مثلث‌های قائم‌الزاویه زاویه‌ای دارند که اندازه‌ی آن ۹۰ درجه است. طبق تعریف، مثلث قائم‌الزاویه همیشه یک زاویه‌ی۹۰ درجه دارد حتی اگر روی مثلث علامت‌گذاری نشده باشد. بنابراین حداقل اندازه‌ی یکی از زاویه‌های مثلث را می‌دانی و می‌توانی اندازه‌ی ۲ زاویه‌ی دیگر را با استفاده از قواعد مثلثات پیدا کنی.^{[۵]
X
منبع تحقیقات}
2
طول ۲ ضلع مثلث را محاسبه کن. طولانی‌ترین ضلع یک مثلث “وتر” نام دارد. ضلع “مجاور” ضلعی است که مجاور (در کنار) زاویه‌ای که می‌خواهی اندازه‌اش را پیدا کنی قرار داشته باشد. ^{[۶]
X
منبع تحقیقات} ضلع “مقابل” ضلعی است که مقابل زاویه‌ای که می‌خواهی اندازه‌ی آن را پیدا کنی قرار داشته باشد. اندازه‌ی این دو ضلع را محاسبه کن تا بتوانی اندازه‌ی زاویه‌های باقی‌مانده‌ی مثلث را پیدا کنی.

نکته: می‌توانی برای حل معادلات از یک ماشین‌حساب نموداری استفاده کنی یا جدول‌های آنلاینی را پیدا کنی که مقادیر مختلف سینوس، کسینوس و تانژانت را در اختیارت قرارمی‌دهند.
3
اگر طول وتر و طول ضلع مقابل را داری، از فرمول سینوس استفاده کن. مقادیری را که در اختیار داری داخل فرمول: وتر ÷‌ ظلع مقابل = sin (X) قرار بده. برای مثال فرض کن طول ضلع مقابل ۵ و طول وتر ۱۰ است. در این صورت ۵ تقسیم بر ۱۰ می‌شود ۰/۵ . حالا می‌دانی sin (x) = ۰/۵ است که می‌توانی آن را به‌صورت: (۰/۵) x = Sin^-۱ بنویسی.^{[7]
X
منبع تحقیقات}
- اگر از ماشین‌حساب نموداری استفاده می‌کنی، فقط کافیست عدد ۰/۵ را بنوسی و دکمه‌ی sin^-۱ را فشار بدهی. اگر ماشین‌حساب نموداری نداری، از یک جدول آنلاین برای پیدا‌کردن مقدار مورد‌نظرت استفاده کن. نتیجه‌ی هر دو روش این خواهد بود که مقدار x مساوی با ۳۰ درجه است.
4
اگر طول وتر و طول ضلع مجاور را داری، از فرمول کسینوس استفاده کن. برای حل چنین مسله‌هایی از فرمول: وتر ÷ ظلع مجاور = cos (x) استفاده کن. برای مثال اگر طول ضلع مجاور مساوی ۱/۶۶۶ و طول وتر ۲/۰ است،‌ ۱/۶۶۶ را بر ۲/۰ تقسیم کن که نتیجه آن می‌شود ۰/۸۳۳ . بنابراین، cos (x) = ۰/۸۳۳ یاx = cos^-۱ که همان (۰/۸۳۳) است.^{[8]
X
منبع تحقیقات}
- عدد ۰/۸۳۳ را در ماشین‌حساب نموداری وارد کن و دکمه‌ی cos^-۱ را فشار بده. مقدار مورد‌نظر را می‌توانی از جدول کسینوس نیز پیدا کنی. جواب ۳۳/۶ درجه خواهد بود.
5
اگر طول ضلع مقابل و مجاور را داری، از فرمول تانژانت استفاده کن. معادله‌ی مورد‌استفاده در تابع تانژانت به‌صورت ضلع مجاور ÷ ضلع مقابل = (x) تانژانت است. فرض کنیم طول ضلع مقابل ۷۵ و ضلع مجاور ۱۰۰ است. ۷۵ را بر ۱۰۰ تقسیم کن که نتیجه‌ی آن ۰/۷۵ خواهد شد. یعنی ۰/۷۵ = (x) تانژانت که برابر است با x = tan^-۱ یا همان (۰/۷۵).^{[9]
X
منبع تحقیقات}
- مقدار تانژانت ۰/۷۵ را از نمودار تانژانت پیدا کن یا عدد ۰/۷۵ را در ماشین‌حساب نموداری وارد کن و دکمه‌ی tan^-۱ را فشار بده. جواب برابر است با ۳۶/۹ درجه.

نکات

زاویه‌ها متناسب با درجه‌ای که دارند نام‌گذاری می‌شوند. همانطور که در بالا هم گفته شد، اندازه‌ی زاویه‌ی قائم ۹۰ درجه است. به زاویه‌ای که اندازه‌اش بیشتر از صفر درجه و کمتر از ۹۰ درجه است،‌ زاویه‌ی تند گفته می‌شود. زاویه‌ای که اندازه‌اش بیشتر از ۹۰ درجه و کمتر از ۱۸۰ درجه است، زاویه‌ی باز نام دارد. زاویه‌‌ی ۱۸۰ درجه زاویه‌ی نیم‌صفحه و زاویه‌های بیشتر از ۱۸۰ درجه زاویه‌ی بازتاب نام دارند.
به دو زاویه‌ای که مجموع اندازه‌های آن‌ها مساوی ۹۰ درجه باشد، زاویه‌های متمم می‌گویند. (دو زاویه‌ی غیر‌قائم در یک مثلث قائم‌الزاویه مکمل هستند). به دو زاویه‌ای که مجموع اندازه‌ی آن‌ها ۱۸۰ درجه باشد، زاویه‌های مکمل گفته می‌شود.