در ریاضیات به هر جسمی که طول قابل‌تعریف،‌ اندازه و جهت داشته باشد، بردار گفته می‌شود. از‌آنجایی‌که بردار‌ها با اشکال و خط‌های معمولی تفاوت دارند، برای محاسبه‌ی زاویه‌ی بین آن‌ها باید از فرمول‌های خاصی استفاده کنی.

بخش 1 از 2:
پیدا‌کردن زاویه‌ی بین دو بردار

  1. 1
    فرمول کسینوس را بنویس. برای پیدا‌کردن زاویه θ بین دو بردار، ابتدا باید مقدار کسینوس آن زاویه را با استفاده از فرمول مربوطه پیدا کنی. می‌توانی در صورت تمایل این فرمول را در ادامه‌ی مقاله یاد بگیری یا آن را به‌صورت زیر بنویسی:[۱]
    • = cosθ
    • |||| نشان‌دهنده‌ی "طول بردار است."
    • ضرب نقطه‌ای (ضرب اسکالر) دو بردار است که در زیر توضیح داده شده است.
  2. 2
    بردار‌ها را مشخص کن. همه‌ی اطلاعاتی را که در مورد دو بردار داری،‌ بنویس. فرض می‌کنیم که فقط اطلاعات بردار‌ها را در قالب مختصات آن‌ها (که مولفه نیز نامیده می‌شوند) در اختیار داری. اگر طول بردارها (اندازه‌ی آن‌ها) را داشته‌باشی، لازم نیست تعدادی از مراحل زیر را انجام بدهی.
    • برای مثال:‌ مختصات دو بعدی بردار (۲,۲) = و بردار (۰,۳) = است. می‌توانی آن‌ را به‌صورت ۲i + ۲j = و ۰i + ۳j = ۳j = نیز بنویسی.
    • اگرچه این مثال برای بردار‌های دو بعدی است، می‌توانی از دستور‌العمل‌های زیر برای بردار‌هایی با مولفه‌های بیشتر نیز استفاده کنی.
  3. 3
    طول هر یک از بردار‌ها را محاسبه کن. مثلثی را در ذهنت تجسم کن که شامل مولفه‌های x، مولفه‌های y و خود بردار باشد. بردار اصلی در واقع وتر این مثلث را تشکیل می‌دهد، بنابراین برای پیدا‌کردن طول آن از قضیه‌ی فیثاغورث استفاده می‌کنیم. همانطور که متوجه شدی، به‌راحتی می‌توانی از این فرمول برای بردار‌هایی با مولفه‌های بیشتر نیز استفاده کنی.
    • u۱۲ + u۲۲ = ||u||۲. اگر برداری بیشتر از دو مولفه‌ داشت، کافیست این فرمول را ادامه بدهی u۳۲ + u۴۲ + ...
    • بنابراین برای یک بردار دوبعدی فرمول موردنظر به‌صورت = ||u|| خواهد بود.
    • = = = ||||. = = = ||||.
  4. 4
    محاسبه‌ی ضرب‌ نقطه‌ای دو بردار. احتمالاً باید با این روش ضرب بردار‌ها که به آن ضرب اسکالر نیز می‌گویند آشنا باشی.[۲]
    بنابراین برای محاسبه‌ی ضرب‌ نقطه‌ای بردار‌ها با استفاده از مولفه‌های‌ آن‌ها، مولفه‌ها را در هر جهتی که قرار دارند با‌هم ضرب و سپس نتیجه ی آن‌ها را با هم جمع کن.
    برای برنامه‌های گرافیکی کامپیوتری، بخش نکات را قبل از ادامه‌ی کار مطالعه کن.

    مثال برای پیدا‌کردن ضرب‌ نقطه‌ای
    در ریاضیات، u۱v۱ + u۲v۲ = است که در واقع u = (u۱, u۲). اگر بردار بیشتر از دو مولفه دارد، به جمع‌زدن آن‌ها ادامه بده + u۳v۳ + u۴v۴...
    در مثال ذکر شده ۶ = ۶ + ۰ = (۲)(۰) + (۲)(۳) = u۱v۱ + u۲v۲ = این روش در واقع ضرب‌ نقطه‌ای برداری‌های و است.

  5. 5
    نتایج به‌دست آمده را در فرمول قرار بده. فرمول
    = cosθ
    را در نظر بگیر.حالا مقدار ضرب‌ نقطه‌ای و طول هر بردار را دراختیار داری. برای محاسبه‌ی زاویه‌ی کسینوس، آن‌ها در فرمول قرار بده.

    محاسبه‌ی کسینوس با استفاده از ضرب‌ برداری و طول بردار‌ها
    در این مثال، = = = cosθ

  6. 6
    محاسبه‌ی زاویه براساس کسینوس. می‌توانی از تابع‌های arccos یا cos-1 ماشین‌حساب برای
    محاسبه‌ی زاویه‌ی θ از مقدار کسینوس آن
    استفاده کنی. برای بعضی از جواب‌های به‌دست‌آمده می‌توانی از روش دایره‌ی مثلثاتی برای محاسبه‌ی زاویه استفاده کنی.

    محاسبه‌ی زاویه با استفاده از کسینوس
    در این مثال،‌ = cosθ. برای محاسبه‌ی زاویه، عبارت ()arccos را در ماشین‌حساب وارد کن. روش دیگر محاسبه این است که زاویه‌ی θ را با استفاده از دایره‌ی مثلثاتی محاسبه کنی که در این مثال = cosθ . این مقدار برابر است با = θ یا ۴۵º.
    وقتی همه‌ی جواب‌ها را در فرمول نهایی قرار بدهی، به این صورت خواهد شد:
    ()angle θ = arccosine

بخش 2 از 2:
تعریف فرمول زاویه

  1. 1
    هدف استفاده از این فرمول را بدان. این فرمول از قوانین موجود به‌دست نیامده است. در واقع این فرمول از تعریف ضرب‌ نقطه‌ای دو بردار و زاویه‌ی بین آن‌ها به‌دست آمده است. [۳] اما تصمیم برای ساخت این فرمول به دلخواه نبوده است. با مروری بر هندسه‌ی پایه، می‌توانی بفهمی که این فرمول نتایج مفید و قابل‌درکی را ارائه می‌دهد.
    • در مثال‌های گفته‌شده در ادامه‌ی این مقاله از بردار‌های دوبعدی استفاده شده است زیرا درک آن‌ها راحت است و بیشترین کاربرد را دارند. بردار‌هایی که سه مولفه یا بیشتر دارند، دارای خواص مشابه‌ای برای استفاده در این فرمول عمومی هستند.
  2. 2
    یادآوری قانون کسینوس. یک مثلث معمولی با اضلاع a و b، و ضلع مقابلشان c را در نظر بگیر. قانون کسینوس می‌گوید c۲ = a۲ + b۲ -۲abcos(θ). این قانون به‌سادگی از هندسه‌ی پایه مشتق شده است.
  3. 3
    دو بردار را طوری به‌هم وصل کن که یک مثلث ایجاد شود. دو بردار دو بعدی روی کاغذ رسم کن، بردار و بردار با زاویه‌ی θ بین آن‌ها. بردار سوم را طوری رسم کن که یک مثلث تشکیل شود. به‌عبارت دیگر بردار را طوری رسم کن که = + . این بردار، یعنی بردار - = .[۴]
  4. 4
    قانون کسینوس را برای این مثلث بنویس. طول "بردار‌های مثلث" را در قانون کسینوس قرار بده:
    • ۲ - ۲ + ۲ = ۲
  5. 5
    مقادیر را با استفاده از ضرب‌ نقطه‌ای بنویس. یادت باشد ضرب‌ نقطه‌ای بزرگ‌نمایی یک بردار است که روی بردار دیگر منعکس می‌شود.ضرب نقطه‌ای یک بردار به‌خودی‌خود نیاز به انعکاس ندارد زیرا در این حالت هیچ تفاوتی در جهت بردار وجود ندارد .[۵] به این معنی که۲||a|| = . از این قضیه برای بازنویسی معادله به‌صورت زیر استفاده کن:‌
    • ۲ - + = ( - ) • ( - )
  6. 6
    فرمول را به‌صورت ساده‌تر بازنویسی کن. سمت چپ فرمول را باز کن و آن را ساده‌سازی کن تا به فرمول مورداستفاده برای محاسبه‌ی زاویه‌ها بررسی.
    • ۲ - + = + - -
    • ۲ - = - -
    • ۲ - = ()۲-
    • =

نکات

  • برای قراردادن اعداد و حل سریع از فرمول زیر برای بردار‌های دو‌بعدی استفاده کن: = cosθ.
  • اگر روی یک برنامه‌ی گرافیکی کامپیوتری کار می‌کنی به‌احتمال‌زیاد فقط به جهت بردار‌ها توجه می‌کنی نه به اندازه‌ی آن‌ها. مراحل زیر را برای ساده‌تر کردن محاسبه و سرعت‌بخشیدن به برنامه‌ات دنبال کن:[۶] [۷]
    • هر یک از بردار‌ها را ساده کن تا طول آن به عدد ۱ برسد. برای انجام این کار هرکدام از مولفه‌ها را بر طول بردار تقسیم کن.
    • به‌جای استفاده از اندازه‌‌های اصلی بردارد‌ها، از اندازه‌های ساده‌شده برای ضرب‌ نقطه‌ای استفاده کن.
    • ازآنجایی‌که طول هر بردار برابر با ۱ است، مقادیر طول را از فرمول حذف کن. معادله‌ی نهایی برای محاسبه‌ی زاویه برابرخواهد بود با :()arccos.
  • براساس فرمول کسینوس، می‌توانی به‌سرعت متوجه‌شوی که زاویه موردنظر باز است یا بسته. با فرمول = cosθ شروع کن:
    • طرف چپ و راست معادله باید علامت یکسانی داشته باشند (مثبت یا منفی) .
    • ازآنجایی‌که طول همیشه مثبت است، cosθ نیز باید علامت یکسانی با نتیجه‌ی ضرب‌ نقطه‌ای داشته باشد.
    • بنابراین اگر ضرب‌ نقطه‌ای مثبت باشد، cosθ نیز مثبت است. یعنی در ربع اول دایره‌ی مثلثاتی قرار داری که θ < or ۹۰º. این یک زاویه‌ی حاد است.
    • اگر نتیجه‌ی ضرب‌برداری منفی شود، cosθ نیز منفی است. یعنی در ربع دوم دایره‌ی مثلثاتی قرار داری که < θ ≤ π یا ۹۰º < θ ≤ ۱۸۰º. بنابراین این زاویه یک زاویه‌ی باز است.

مقالات مرتبط ویکی‌هاو

میلی‌ لیتر (mL) را به گرم (g) تبدیل کنیممیلی‌ لیتر (mL) را به گرم (g) تبدیل کنیم
متر مربع را حساب کنیممتر مربع را حساب کنیم
تخفیف را محاسبه کنیمتخفیف را محاسبه کنیم
قطر یک دایره را محاسبه کنیمقطر یک دایره را محاسبه کنیم
کیلووات ساعت را محاسبه کنیمکیلووات ساعت را محاسبه کنیم
حجم را بر مبنای لیتر محاسبه کنیمحجم را بر مبنای لیتر محاسبه کنیم
مساحت یک چند ضلعی را محاسبه کنیممساحت یک چند ضلعی را محاسبه کنیم
ارتفاع یک مثلث را محاسبه کنیمارتفاع یک مثلث را محاسبه کنیم
گرم را به مول تبدیل کنیمگرم را به مول تبدیل کنیم
رادیان را به درجه تبدیل کنیمرادیان را به درجه تبدیل کنیم
مساحت یک مثلث را محاسبه کنیممساحت یک مثلث را محاسبه کنیم
حجم یک استوانه را محاسبه کنیمحجم یک استوانه را محاسبه کنیم
یک صفحه‌ی خالی را در Word حذف کنیمیک صفحه‌ی خالی را در Word حذف کنیم
مساحت دایره را محاسبه کنیممساحت دایره را محاسبه کنیم

در مورد ویکی‌هاو

ویکی‌هاو مانند ویکی‌پدیا یک “ویکی” است. بنابراین بسیاری از مقالات ما با مشارکت افراد متعددی نوشته شده‌اند. برای خلق این مقاله، 38 نفر، بعضاً ناشناس، کار کردند تا ویرایشش کنند و به مرور زمان بهبودش دهند. این مقاله ۴٬۱۷۶بار مشاهده شده است.
از این صفحه ۴٬۱۷۶بار بازدید شده‌است.

آیا این مقاله کمکتان کرد؟