چگونه زاویه‌ بین دو بردار را محاسبه کنیم

به‌طور مشارکتی نوشته شده با همکاری Darlene Antonelli, MA

در ریاضیات به هر جسمی که طول قابل‌تعریف،‌ اندازه و جهت داشته باشد، بردار گفته می‌شود. از‌آنجایی‌که بردار‌ها با اشکال و خط‌های معمولی تفاوت دارند، برای محاسبه زاویه بین آن‌ها باید از فرمول‌های خاصی استفاده کنی.

بخش 1

بخش 1 از 2:

پیدا‌کردن زاویه بین دو بردار

1
فرمول کسینوس را بنویس. برای پیدا‌کردن زاویه θ بین دو بردار، ابتدا باید مقدار کسینوس آن زاویه را با استفاده از فرمول پیدا کنی. می‌توانی در صورت تمایل این فرمول را در ادامه‌ی مقاله یاد بگیری یا آن را به‌صورت زیر بنویسی:^{[۱]
X
منبع تحقیقات}
- ${\frac {{\overrightarrow {u}}{\text{•}}{\overrightarrow {v}}}{||{\overrightarrow {u}}||{\text{•}}||{\overrightarrow {v}}||}}$ = cosθ
- || ${\overrightarrow {u}}$ || نشان‌دهنده‌ی "طول بردار ${\overrightarrow {u}}$ است."
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ضرب نقطه ای (ضرب اسکالر) دو بردار است که در زیر توضیح داده شده است.
2
بردار‌ها را مشخص کن. همه‌ی اطلاعاتی را که درمورد دو بردار داری،‌ بنویس. فرض می‌کنیم که فقط اطلاعات بردار‌ها را در قالب مختصات آن‌ها (که مولفه نیز نامیده می‌شوند) در اختیار داری. اگر طول بردارها (اندازه آن‌ها) را داشته باشی، لازم نیست تعدادی از مراحل زیر را انجام بدهی.
- برای مثال:‌ مختصات دوبعدی بردار (۲,۲) = ${\overrightarrow {u}}$ و بردار (۰,۳) = ${\overrightarrow {v}}$ است. می‌توانی آن‌ را به‌صورت ۲i + ۲j = ${\overrightarrow {u}}$ و ۰i + ۳j = ۳j = ${\overrightarrow {v}}$ نیز بنویسی.
- اگرچه این مثال برای بردار‌های دوبعدی است، می‌توانی از دستور‌العمل‌های زیر برای بردار‌هایی با مولفه‌های بیشتر نیز استفاده کنی.
3
طول هر یک از بردار‌ها را محاسبه کن. مثلثی را در ذهنت تجسم کن که شامل مولفه‌های x، مولفه‌های y و خود بردار باشد. بردار اصلی در واقع وتر این مثلث را تشکیل می‌دهد، بنابراین برای پیدا‌کردن طول آن از قضیه‌ی فیثاغورث استفاده می‌کنیم. همانطور که متوجه شدی، به‌راحتی می‌توانی از این فرمول برای بردار‌هایی با مولفه‌های بیشتر نیز استفاده کنی.
- u_۱^۲ + u_۲^۲ = ||u||^۲. اگر برداری بیشتر از دو مولفه‌ داشت، کافی است این فرمول را ادامه بدهی u_۳^۲ + u_۴^۲ + ...
- بنابراین برای یک بردار دوبعدی فرمول موردنظر به‌صورت ${\sqrt {(u_{\text{۱}})^{\text{۲}}+(u_{\text{۲}})^{\text{۲}}}}$ = ||u|| خواهد بود.
- ${\text{۲}}{\sqrt {\text{۲}}}$ = ${\sqrt {({\text{۸}})}}$ = ${\sqrt {({\text{۲}}^{\text{۲}}+{\text{۲}}^{\text{۲}})}}$ = || ${\overrightarrow {u}}$ ||. ${\text{۳}}$ = ${\sqrt {({\text{۹}})}}$ = ${\sqrt {({\text{۰}}^{\text{۲}}+{\text{۳}}^{\text{۲}})}}$ = || ${\overrightarrow {v}}$ ||.
4
محاسبه ضرب‌ نقطه ای دو بردار. احتمالاً باید با این روش ضرب بردار‌ها که به آن ضرب اسکالر نیز می‌گویند آشنا باشی.^{[۲]
X
منبع تحقیقات}
بنابراین برای محاسبه ضرب‌ نقطه ای بردار‌ها با استفاده از مولفه‌های‌ آن‌ها، مولفه‌ها را در هر جهتی که قرار دارند با‌هم ضرب و سپس نتیجه ی آن‌ها را با هم جمع کن.
برای برنامه‌های گرافیکی کامپیوتری، بخش نکات را قبل از ادامه‌ی کار مطالعه کن.

مثال برای پیدا‌کردن ضرب‌ نقطه ای
در ریاضیات، u_۱v_۱ + u_۲v_۲ = ${\overrightarrow {v}}$ • ${\overrightarrow {u}}$ است که در واقع u = (u_۱, u_۲). اگر بردار بیشتر از دو مولفه دارد، به جمع‌زدن آن‌ها ادامه بده + u_۳v_۳ + u_۴v_۴...
در مثال ذکر شده ۶ = ۶ + ۰ = (۲)(۰) + (۲)(۳) = u_۱v_۱ + u_۲v_۲ = ${\overrightarrow {v}}$ • ${\overrightarrow {u}}$ این روش در واقع ضرب‌ نقطه ای بردارهای ${\overrightarrow {u}}$ و ${\overrightarrow {v}}$ است.
5
نتایج به‌دست آمده را در فرمول قرار بده. فرمول
${\frac {{\overrightarrow {u}}{\text{•}}{\overrightarrow {v}}}{||{\overrightarrow {u}}||{\text{•}}||{\overrightarrow {v}}||}}$ = cosθ
را در نظر بگیر.حالا مقدار ضرب‌ نقطه ای و طول هر بردار را دراختیار داری. برای محاسبه زاویه کسینوس، آن‌ها در فرمول قرار بده.

محاسبه کسینوس با استفاده از ضرب‌ برداری و طول بردار‌ها
در این مثال، ${\frac {\sqrt {\text{۲}}}{\text{۲}}}$ = ${\frac {\text{۱}}{\sqrt {\text{۲}}}}$ = ${\frac {\text{۶}}{{\text{۲}}{\sqrt {\text{۲}}}{\text{•}}{\text{۳}}}}$ = cosθ
6
محاسبه زاویه براساس کسینوس. می‌توانی از تابع‌های arccos یا cos^-1 ماشین‌حساب برای
محاسبه زاویه θ از مقدار کسینوس آن
استفاده کنی. برای بعضی از جواب‌های به‌دست‌آمده می‌توانی از روش دایره مثلثاتی برای محاسبه زاویه استفاده کنی.

محاسبه زاویه با استفاده از کسینوس
در این مثال،‌ ${\frac {\sqrt {\text{۲}}}{\text{۲}}}$ = cosθ. برای محاسبه زاویه، عبارت ( ${\frac {\sqrt {\text{۲}}}{\text{۲}}}$ )arccos را در ماشین‌حساب وارد کن. روش دیگر محاسبه این است که زاویه θ را با استفاده از دایره مثلثاتی محاسبه کنی که در این مثال ${\frac {\sqrt {\text{۲}}}{\text{۲}}}$ = cosθ . این مقدار برابر است با ${\frac {\text{π}}{\text{۴}}}$ = θ یا ۴۵º.
وقتی همه‌ی جواب‌ها را در فرمول نهایی قرار بدهی، به این صورت خواهد شد:
( ${\frac {{\overrightarrow {u}}{\text{•}}{\overrightarrow {v}}}{||{\overrightarrow {u}}||{\text{•}}||{\overrightarrow {v}}||}}$ )angle θ = arccosine

بخش 2

بخش 2 از 2:

تعریف فرمول زاویه

1
هدف استفاده از این فرمول را بدان. این فرمول از قوانین موجود به‌دست نیامده است. در واقع این فرمول از تعریف ضرب‌ نقطه ای دو بردار و زاویه بین آن‌ها به‌دست آمده است. ^{[۳]
X
منبع تحقیقات} اما تصمیم برای ساخت این فرمول به دلخواه نبوده است. با مروری بر هندسه‌ی پایه، می‌توانی بفهمی که این فرمول نتایج مفید و قابل‌درکی را ارائه می‌دهد.
- در مثال‌های گفته‌شده در ادامه‌ی این مقاله از بردار‌های دوبعدی استفاده شده است زیرا درک آن‌ها راحت است و بیشترین کاربرد را دارند. بردار‌هایی که سه مولفه یا بیشتر دارند، دارای خواص مشابه‌ای برای استفاده در این فرمول عمومی هستند.
2
یادآوری قانون کسینوس. یک مثلث معمولی با اضلاع a و b، و ضلع مقابلشان c را در نظر بگیر. قانون کسینوس می‌گوید c^۲ = a^۲ + b^۲ -۲abcos(θ). این قانون به‌سادگی از هندسه‌ی پایه مشتق شده است.
3
دو بردار را طوری به‌هم وصل کن که یک مثلث ایجاد شود. دو بردار دو بعدی روی کاغذ رسم کن، بردار ${\overrightarrow {a}}$ و بردار ${\overrightarrow {b}}$ با زاویه θ بین آن‌ها. بردار سوم را طوری رسم کن که یک مثلث تشکیل شود. به‌عبارت دیگر بردار ${\overrightarrow {c}}$ را طوری رسم کن که ${\overrightarrow {a}}$ = ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ . این بردار، یعنی بردار ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {c}}$ .^{[۴]
X
منبع تحقیقات}
4
قانون کسینوس را برای این مثلث بنویس. طول "بردار‌های مثلث" را در قانون کسینوس قرار بده:
- $||a||b||{\text{cos(θ)}}$ ۲ - ^۲ $||b||$ + ^۲ $||a||$ = ^۲ $||(a-b)||$
5
مقادیر را با استفاده از ضرب‌ نقطه ای بنویس. یادت باشد ضرب‌ نقطه ای بزرگ‌نمایی یک بردار است که روی بردار دیگر منعکس می‌شود.ضرب نقطه ای یک بردار به‌خودی‌خود نیاز به انعکاس ندارد زیرا در این حالت هیچ تفاوتی در جهت بردار وجود ندارد .^{[۵]
X
منبع تحقیقات} به این معنی که^۲||a|| = ${\overrightarrow {a}}$ ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ ${\overrightarrow {a}}$ . از این قضیه برای بازنویسی معادله به‌صورت زیر استفاده کن:‌
- $||a||b||{\text{cos(θ)}}$ ۲ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ( ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ ) • ( ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ )
6
فرمول را به‌صورت ساده‌تر بازنویسی کن. سمت چپ فرمول را باز کن و آن را ساده‌سازی کن تا به فرمول مورداستفاده برای محاسبه زاویه ها برسی.
- $||a||b||{\text{cos(θ)}}$ ۲ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$
- $||a||b||{\text{cos(θ)}}$ ۲ - = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ -
- $||a||b||{\text{cos(θ)}}$ ۲ - = ( ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ )۲-
- $||a||b||{\text{cos(θ)}}$ = ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$

نکات

برای قراردادن اعداد و حل سریع از فرمول زیر برای بردار‌های دو‌بعدی استفاده کن: ${\frac {({\overrightarrow {u}}_{\text{۱}}{\text{•}}{\overrightarrow {v}}_{\text{۱}}+{\overrightarrow {u}}_{\text{۲}}{\text{•}}{\overrightarrow {v}}_{\text{۲}})}{({\sqrt {({\overrightarrow {u}}_{\text{۱}})^{\text{۲}}{\text{•}}({\overrightarrow {u}}_{\text{۱}})^{\text{۲}}}}{\text{•}}{\sqrt {({\overrightarrow {v}}_{\text{۱}})^{\text{۲}}{\text{•}}({\overrightarrow {v}}_{\text{۱}})^{\text{۲}}}})}}$ = cosθ.
اگر روی یک برنامه‌ی گرافیکی کامپیوتری کار می‌کنی به‌احتمال‌زیاد فقط به جهت بردار‌ها توجه می‌کنی نه به اندازه آن‌ها. مراحل زیر را برای ساده‌تر کردن محاسبه و سرعت‌بخشیدن به برنامه‌ات دنبال کن:^{[۶]
X
منبع تحقیقات}^{[۷]
X
منبع تحقیقات}
- هر یک از بردار‌ها را ساده کن تا طول آن به عدد ۱ برسد. برای انجام این کار هرکدام از مولفه‌ها را بر طول بردار تقسیم کن.
- به‌جای استفاده از اندازه های اصلی بردارها، از اندازه های ساده‌شده برای ضرب‌ نقطه ای استفاده کن.
- ازآنجایی‌که طول هر بردار برابر با ۱ است، مقادیر طول را از فرمول حذف کن. معادله‌ی نهایی برای محاسبه زاویه برابر خواهد بود با :( ${\overrightarrow {v}}$ • ${\overrightarrow {u}}$ )arccos.
براساس فرمول کسینوس، می‌توانی به‌سرعت متوجه شوی که زاویه موردنظر باز است یا بسته. با فرمول ${\frac {{\overrightarrow {u}}{\text{•}}{\overrightarrow {v}}}{||{\overrightarrow {u}}||{\text{•}}||{\overrightarrow {v}}||}}$ ${\frac {{\overrightarrow {u}}{\text{•}}{\overrightarrow {v}}}{||{\overrightarrow {u}}||{\text{•}}||{\overrightarrow {v}}||}}$ = cosθ شروع کن:
- طرف چپ و راست معادله باید علامت یکسانی داشته باشند (مثبت یا منفی) .
- ازآنجایی‌که طول همیشه مثبت است، cosθ نیز باید علامت یکسانی با نتیجه‌ی ضرب‌ نقطه ای داشته باشد.
- بنابراین اگر ضرب‌ نقطه ای مثبت باشد، cosθ نیز مثبت است. یعنی در ربع اول دایره مثلثاتی قرار داری که θ < ${\frac {\text{π}}{\text{۲}}}$ or ۹۰º. این یک زاویه حاد است.
- اگر نتیجه‌ی ضرب برداری منفی شود، cosθ نیز منفی است. یعنی در ربع دوم دایره مثلثاتی قرار داری که ${\frac {\text{π}}{\text{۲}}}$ < θ ≤ π یا ۹۰º < θ ≤ ۱۸۰º. بنابراین این زاویه یک زاویه باز است.