این مقاله توسط نویسندهی عضو ویکیهاو، Darlene Antonelli, MA بهصورت مشارکتی نوشته شده.
در این مقاله به 7 مرجع استناد شده که در پایین صفحه لیست شدهاند.
این مقاله ۴۰٬۲۷۰بار مشاهده شده است.
در ریاضیات به هر جسمی که طول قابلتعریف، اندازه و جهت داشته باشد، بردار گفته میشود. ازآنجاییکه بردارها با اشکال و خطهای معمولی تفاوت دارند، برای محاسبه زاویه بین آنها باید از فرمولهای خاصی استفاده کنی.
مراحل
پیداکردن زاویه بین دو بردار
-
1فرمول کسینوس را بنویس. برای پیداکردن زاویه θ بین دو بردار، ابتدا باید مقدار کسینوس آن زاویه را با استفاده از فرمول پیدا کنی. میتوانی در صورت تمایل این فرمول را در ادامهی مقاله یاد بگیری یا آن را بهصورت زیر بنویسی:[۱]
- = cosθ
- |||| نشاندهندهی "طول بردار است."
- • ضرب نقطه ای (ضرب اسکالر) دو بردار است که در زیر توضیح داده شده است.
-
2بردارها را مشخص کن. همهی اطلاعاتی را که درمورد دو بردار داری، بنویس. فرض میکنیم که فقط اطلاعات بردارها را در قالب مختصات آنها (که مولفه نیز نامیده میشوند) در اختیار داری. اگر طول بردارها (اندازه آنها) را داشته باشی، لازم نیست تعدادی از مراحل زیر را انجام بدهی.
- برای مثال: مختصات دوبعدی بردار (۲,۲) = و بردار (۰,۳) = است. میتوانی آن را بهصورت ۲i + ۲j = و ۰i + ۳j = ۳j = نیز بنویسی.
- اگرچه این مثال برای بردارهای دوبعدی است، میتوانی از دستورالعملهای زیر برای بردارهایی با مولفههای بیشتر نیز استفاده کنی.
-
3طول هر یک از بردارها را محاسبه کن. مثلثی را در ذهنت تجسم کن که شامل مولفههای x، مولفههای y و خود بردار باشد. بردار اصلی در واقع وتر این مثلث را تشکیل میدهد، بنابراین برای پیداکردن طول آن از قضیهی فیثاغورث استفاده میکنیم. همانطور که متوجه شدی، بهراحتی میتوانی از این فرمول برای بردارهایی با مولفههای بیشتر نیز استفاده کنی.
- u۱۲ + u۲۲ = ||u||۲. اگر برداری بیشتر از دو مولفه داشت، کافی است این فرمول را ادامه بدهی u۳۲ + u۴۲ + ...
- بنابراین برای یک بردار دوبعدی فرمول موردنظر بهصورت = ||u|| خواهد بود.
- = = = ||||. = = = ||||.
-
4محاسبه ضرب نقطه ای دو بردار. احتمالاً باید با این روش ضرب بردارها که به آن ضرب اسکالر نیز میگویند آشنا باشی.[۲]بنابراین برای محاسبه ضرب نقطه ای بردارها با استفاده از مولفههای آنها، مولفهها را در هر جهتی که قرار دارند باهم ضرب و سپس نتیجه ی آنها را با هم جمع کن.برای برنامههای گرافیکی کامپیوتری، بخش نکات را قبل از ادامهی کار مطالعه کن.
مثال برای پیداکردن ضرب نقطه ای
در ریاضیات، u۱v۱ + u۲v۲ = • است که در واقع u = (u۱, u۲). اگر بردار بیشتر از دو مولفه دارد، به جمعزدن آنها ادامه بده + u۳v۳ + u۴v۴...
در مثال ذکر شده ۶ = ۶ + ۰ = (۲)(۰) + (۲)(۳) = u۱v۱ + u۲v۲ = • این روش در واقع ضرب نقطه ای بردارهای و است. -
5نتایج بهدست آمده را در فرمول قرار بده. فرمول= cosθرا در نظر بگیر.حالا مقدار ضرب نقطه ای و طول هر بردار را دراختیار داری. برای محاسبه زاویه کسینوس، آنها در فرمول قرار بده.
محاسبه کسینوس با استفاده از ضرب برداری و طول بردارها
در این مثال، = = = cosθ -
6محاسبه زاویه براساس کسینوس. میتوانی از تابعهای arccos یا cos-1 ماشینحساب برایمحاسبه زاویه θ از مقدار کسینوس آناستفاده کنی. برای بعضی از جوابهای بهدستآمده میتوانی از روش دایره مثلثاتی برای محاسبه زاویه استفاده کنی.
محاسبه زاویه با استفاده از کسینوس
در این مثال، = cosθ. برای محاسبه زاویه، عبارت ()arccos را در ماشینحساب وارد کن. روش دیگر محاسبه این است که زاویه θ را با استفاده از دایره مثلثاتی محاسبه کنی که در این مثال = cosθ . این مقدار برابر است با = θ یا ۴۵º.
وقتی همهی جوابها را در فرمول نهایی قرار بدهی، به این صورت خواهد شد:
()angle θ = arccosine
تعریف فرمول زاویه
-
1هدف استفاده از این فرمول را بدان. این فرمول از قوانین موجود بهدست نیامده است. در واقع این فرمول از تعریف ضرب نقطه ای دو بردار و زاویه بین آنها بهدست آمده است. [۳] اما تصمیم برای ساخت این فرمول به دلخواه نبوده است. با مروری بر هندسهی پایه، میتوانی بفهمی که این فرمول نتایج مفید و قابلدرکی را ارائه میدهد.
- در مثالهای گفتهشده در ادامهی این مقاله از بردارهای دوبعدی استفاده شده است زیرا درک آنها راحت است و بیشترین کاربرد را دارند. بردارهایی که سه مولفه یا بیشتر دارند، دارای خواص مشابهای برای استفاده در این فرمول عمومی هستند.
-
2یادآوری قانون کسینوس. یک مثلث معمولی با اضلاع a و b، و ضلع مقابلشان c را در نظر بگیر. قانون کسینوس میگوید c۲ = a۲ + b۲ -۲abcos(θ). این قانون بهسادگی از هندسهی پایه مشتق شده است.
-
3دو بردار را طوری بههم وصل کن که یک مثلث ایجاد شود. دو بردار دو بعدی روی کاغذ رسم کن، بردار و بردار با زاویه θ بین آنها. بردار سوم را طوری رسم کن که یک مثلث تشکیل شود. بهعبارت دیگر بردار را طوری رسم کن که = + . این بردار، یعنی بردار - = .[۴]
-
4قانون کسینوس را برای این مثلث بنویس. طول "بردارهای مثلث" را در قانون کسینوس قرار بده:
- ۲ - ۲ + ۲ = ۲
-
5مقادیر را با استفاده از ضرب نقطه ای بنویس. یادت باشد ضرب نقطه ای بزرگنمایی یک بردار است که روی بردار دیگر منعکس میشود.ضرب نقطه ای یک بردار بهخودیخود نیاز به انعکاس ندارد زیرا در این حالت هیچ تفاوتی در جهت بردار وجود ندارد .[۵] به این معنی که۲||a|| = • . از این قضیه برای بازنویسی معادله بهصورت زیر استفاده کن:
- ۲ - • + • = ( - ) • ( - )
-
6فرمول را بهصورت سادهتر بازنویسی کن. سمت چپ فرمول را باز کن و آن را سادهسازی کن تا به فرمول مورداستفاده برای محاسبه زاویه ها برسی.
- ۲ - • + • = • + • - • - •
- ۲ - = • - • -
- ۲ - = ( • )۲-
- = •
نکات
- برای قراردادن اعداد و حل سریع از فرمول زیر برای بردارهای دوبعدی استفاده کن: = cosθ.
- اگر روی یک برنامهی گرافیکی کامپیوتری کار میکنی بهاحتمالزیاد فقط به جهت بردارها توجه میکنی نه به اندازه آنها. مراحل زیر را برای سادهتر کردن محاسبه و سرعتبخشیدن به برنامهات دنبال کن:[۶]
[۷]
- هر یک از بردارها را ساده کن تا طول آن به عدد ۱ برسد. برای انجام این کار هرکدام از مولفهها را بر طول بردار تقسیم کن.
- بهجای استفاده از اندازه های اصلی بردارها، از اندازه های سادهشده برای ضرب نقطه ای استفاده کن.
- ازآنجاییکه طول هر بردار برابر با ۱ است، مقادیر طول را از فرمول حذف کن. معادلهی نهایی برای محاسبه زاویه برابر خواهد بود با :( • )arccos.
- براساس فرمول کسینوس، میتوانی بهسرعت متوجه شوی که زاویه موردنظر باز است یا بسته. با فرمول = cosθ شروع کن:
- طرف چپ و راست معادله باید علامت یکسانی داشته باشند (مثبت یا منفی) .
- ازآنجاییکه طول همیشه مثبت است، cosθ نیز باید علامت یکسانی با نتیجهی ضرب نقطه ای داشته باشد.
- بنابراین اگر ضرب نقطه ای مثبت باشد، cosθ نیز مثبت است. یعنی در ربع اول دایره مثلثاتی قرار داری که θ < or ۹۰º. این یک زاویه حاد است.
- اگر نتیجهی ضرب برداری منفی شود، cosθ نیز منفی است. یعنی در ربع دوم دایره مثلثاتی قرار داری که < θ ≤ π یا ۹۰º < θ ≤ ۱۸۰º. بنابراین این زاویه یک زاویه باز است.
منابع
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-dot-product.html
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/54087.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/defining-the-angle-between-vectors
- ↑ http://physics.info/vector-multiplication/
- ↑ http://stackoverflow.com/questions/2304634/why-must-we-normalize-a-vector
- ↑ http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/vectors/angleBetween/index.htm